+7 (495) 231-94-13
Москва, ул.Профсоюзная, д.56 пав. 2В-27
с 10 до 21:00 Пн-Вс
Новости
18.05.2018
Акция!
18.05.2018

Магнитная распродажа:

50x30 -   990 руб. >купить<
60x30 - 1490 руб. >купить<
70x30 - 1790 руб. >купить<

доставка - 300 руб.

ВНИМАНИЕ!

1-го января, - выходной, далее работаем по стандартному графику, каждый день.

Внимание! Сильные магнитные поля притягивают металлические...

Диск 50x30 мм
Диск 50x30 мм
Обычная цена
1 500pуб.
1 200pуб.

Основные уравнения электростатики в вакууме.

Лекция 2
Основные уравнения электростатики в вакууме.

1.4. Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса.
По определению потоком векторного поля через площадку называется величина (рис.2.1)

Рис.2.1. К определению потока вектора .
Если поле неоднородно или поверхность, через которую вычисляется поток, не является плоской (рис.2.2), то определение потока нужно применить к бесконечно малому элементу поверхности, а именно записать:

Тогда поток через всю поверхность S будет:

Рис.2.2. где .
Заметим, что поток – величина алгебраическая. Знак потока зависит от выбора направления нормали к элементарным площадкам, на которые разбивается поверхность S при вычислении ФЕ. Изменение направления нормали на противоположное изменит знак En, а значит и знак потока ФЕ. В случае замкнутых поверхностей принято считать знак потока положительным, если силовые линии поля выходят из охватываемой области наружу. Численно поток равен количеству силовых линий, пресекающих данную поверхность. Размерность потока в СИ: [ФЕ] = В•м (отметим, что она совпадает с размерностью величины q/εо).
Окружим точечный заряд q замкнутой сферической поверхностью радиуса r и вычислим поток электрического поля точечного заряда через эту поверхность (рис.2.3).
По определению имеем: ,
где - напряженность электрического поля в направлении внешней нормали, ; - элемент поверхности, , - элемент телесного угла.
Рис.2.3. К доказательству теоремы Гаусса.
Вычисляем:
Мы видим, что полученный результат не зависит от формы и размеров выбранной поверхности. Это очевидно, поскольку поток численно равен количеству силовых линий, пересекающих данную поверхность, и в случае выбора замкнутой поверхности любой другой формы он не изменится, так как силовые линии нигде не прерываются.
Если внутри замкнутой поверхности имеется несколько зарядов, то поток их результирующего поля, согласно принципу суперпозиции, будет равен:

В частности, если система зарядов находится вне выбранной поверхности (рис.2.4) или алгебраическая сумма всех зарядов, заключенных под поверхностью, равна нулю, то поток .
Рис.2.4.
Доказанная выше теорема, носит название теоремы Гаусса (Gauss C., 1777–1855). Полная ее формулировка звучит так: поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности (деленной на ):

Отметим, что теорема Гаусса является прямым следствием закона Кулона и является одной из основных теорем электростатики.
1.5. Применение теоремы Гаусса для расчета электрических полей.
В ряде случаев теорема Гаусса позволяет найти напряженность электрического поля протяженных заряженных тел, не прибегая к вычислению громоздких интегралов. Обычно это относится к телам, чья геометрическая форма обладает определенными элементами симметрии (шар, цилиндр, плоскость). Рассмотрим некоторые примеры применения теоремы Гаусса для расчета напряженности электрических полей.
Пример 1. Поле равномерно заряженной плоскости.
Электрическое поле, создаваемое бесконечно протяженной равномерно заряженной плоскостью, является однородным – в каждой точке пространства вне плоскости его напряженность всюду одинакова. Направлено это поле перпендикулярно к плоскости в обе стороны (рис.2.5). Поэтому для потока вектора напряженности поля через произвольно выбранную цилиндрическую поверхность, опирающуюся на элемент плоскости ΔS, можем написать: , откуда , где - поверхностная плотность заряда. Размерность в СИ: .
Рис.2.5. Поле равномерно заряженной плоскости.
Таким образом, искомая напряженность электрического поля равномерно заряженной плоскости .
Пример 2. Поле равномерно заряженной нити (цилиндра).
В данном случае электрическое поле обладает аксиальной симметрией – не зависит от азимутального угла φ и координаты z и направлено вдоль радиус-вектора (рис.2.6). Поэтому для потока вектора через выбранную цилиндрическую поверхность с осью, совпадающей с заряженной нитью, имеем: , где - элемент цилиндрической поверхности; l – длина произвольного участка нити.
С другой стороны, по теореме Гаусса этот поток равен: причем , - линейная плотность заряда нити.
Рис.2.6. Поле равномерно заряженной нити.
Отсюда находим: .
Искомая напряженность электрического поля равномерно заряженной нити:
.
Пример 3. Поле равномерно заряженного шара.
а) Металлический шар. При равновесии заряды равномерно распределяются по внешней поверхности заряженного шара (рис.2.7). Поэтому при < (внутри шара) электрическое поле отсутствует: .

Рис.2.7. Поле равномерно заряженного металлического шара.
Вне шара ( > ) электрическое поле, созданное равномерно распределенными по его поверхности зарядами, обладает сферической симметрией (направлено по радиальным линиям), поэтому, согласно теореме Гаусса:
.
Видим, что электрическое поле равномерно заряженного металлического шара не зависит от радиуса шара и совпадает с полем точечного заряда.
б) Диэлектрический шар.
Рассмотрим шар, с условной диэлектрической проницаемостью ε = 1, равномерно заряженный по объему с плотностью заряда (рис.2.8).
Размерность объемной плотности заряда в СИ: .
Рис.2.8. Поле равномерно заряженного диэлектрического шара.
Полный заряд шара, очевидно, есть: .
Имеем по теореме Гаусса:
1) Внутри шара (r < R): , где Δq = - заряд внутренней области шара, ограниченной выбранной сферической поверхностью радиуса r. Отсюда находим: .
2) Вне шара (r > R): , откуда = ,
то есть вне заряженного диэлектрического шара электрическое поле такое же, как и в случае металлического шара.
На рис.2.9 показан качественный ход зависимостей E(r) для металлического и диэлектрического шаров.
металл Рис.2.9. Зависимость E(r). диэлектрик

1.6. Работа сил поля по перемещению заряда. Потенциал и разность потенциалов электрического поля.
Как следует из закона Кулона, сила, действующая на точечный заряд q в электрическом поле, созданном другими зарядами, является центральной. Напомним, что центральной называется сила, линия действия которой направлена по радиус-вектору, соединяющему некоторую неподвижную точку О (центр поля) с любой точкой траектории. Из «Механики» известно, что все центральные силы являются потенциальными. Работа этих сил не зависит от формы пути перемещения тела, на которое они действуют, и равна нулю по любому замкнутому контуру (пути перемещения). В применении к электростатическому полю (рис.2.10):
.

Рис.2.10. К определению работы сил электростатического поля.
То есть, работа сил поля по перемещению заряда q из точки 1 в точку 2 равна по величине и противоположна по знаку работе по перемещению заряда из точки 2 в точку 1, независимо формы пути перемещения. Следовательно, работа сил поля по перемещению заряда может быть представлена разностью потенциальных энергий заряда в начальной и конечной точках пути перемещения:
.
Введем потенциал электростатического поля φ, задав его как отношение:
, (размерность в СИ: ).
Тогда работа сил поля по перемещению точечного заряда q из точки 1 в точку 2 будет:

Разность потенциалов называется электрическим напряжением. Размерность напряжения, как и потенциала, [U] = B.
Считается, что на бесконечности электрические поля отсутствуют, и значит . Это позволяет дать определение потенциала как работы, которую нужно совершить, чтобы переместить заряд q = +1 из бесконечности в данную точку пространства. Таким образом, потенциал электрического поля является его энергетической характеристикой
1.7. Связь между напряженностью и потенциалом электрического поля. Градиент потенциала. Теорема о циркуляции электрического поля.
Напряженность и потенциал – это две характеристики одного и того же объекта – электрического поля, поэтому между ними должна существовать функциональная связь. Действительно, работа сил поля по перемещению заряда q из одной точки пространства в другую может быть представлена двояким образом:
Откуда следует, что
Или

Это и есть искомая связь между напряженностью и потенциалом электрического поля в дифференциальном виде.
- вектор, направленный из точки с меньшим потенциалом в точку с большим потенциалом (рис.2.11).
, .

Рис.2.11. Векторы и gradφ. .

Из свойства потенциальности электростатического поля следует, что работа сил поля по замкнутому контуру (φ1= φ2) равна нулю:
,
поэтому можем написать

Последнее равенство отражает суть второй основной теоремы электростатики – теоремы о циркуляции электрического поля, согласно которой циркуляция поля вдоль произвольного замкнутого контура равна нулю. Эта теорема является прямым следствием потенциальности электростатического поля.

1.8. Эквипотенциальные линии и поверхности и их свойства.
Линии и поверхности, все точки которых имеют одинаковый потенциал, называются эквипотенциальными. Их свойства непосредственно вытекают из представления работы сил поля и иллюстрируются рис.2.12:
1) - работа по перемещению заряда вдоль эквипотенциальной линии (поверхности) равна нулю, т. к. .
2) - силовые линии поля в каждой точке ортогональны к эквипотенциальной линии (поверхности).
Рис.2.12. Иллюстрация свойств эквипотенциальных линий и поверхностей.

1.9. Потенциалы простейших электрических полей.
Из соотношения , определяющего связь между напряженностью и потенциалом электрического поля, следует формула для вычисления потенциала поля:

где интегрирование производится вдоль силовой линии поля; С – произвольная постоянная, с точностью до которой определяется потенциал электрического поля.
Если направление поля совпадает с направлением радиус–вектора ( ), то вычисления можно производить по формуле:
.
Рассмотрим ряд примеров на применение этой формулы.
Пример1. Потенциал поля точечного заряда (рис.2.13).

Рис.2.13. При полагают, что , тогда .
Таким образом, потенциал поля точечного заряда определяется по формуле:

Пример 2. Потенциал поля металлического заряженного шара.
а) Изолированный шар (рис.2.14).
при , т.е. внутри шара = const.
Рис2.14.
Вне шара .
При φ = 0, следовательно, С = 0.
- вне шара.
Для определения используем свойство непрерывности потенциала: при переходе через границу поверхности шара, потенциал не претерпевает скачка. Полагая в последней формуле r =R, находим:

- внутри шара.
б) Заземленный шар (рис.2.15).
.
При , то есть - вне шара.
Рис.2.15. Внутри шара φ(r ≤ 0) = φ0 = 0.
Разность потенциалов U (рис.2.16) двух точек на силовой линии электрического поля заряженного шара определяется по формуле:
.

Рис.2.16.
Пример 3. Потенциал поля заряженной нити (рис.2.17).
При :


Рис.2.17.

Разность потенциалов U (рис.2.17) двух точек на силовой линии поля заряженной нити:

Пример 4. Потенциал поля заряженной плоскости (2.18).


Рис.2.18.
Разность потенциалов U (рис.2.18) двух точек на силовой линии поля заряженной плоскости:
.

 

<<< Лекция 1

Предмет классической электродинамики. Электрическое поле. Напряженность электрического поля.

Лекция 3 >>>

Электростатическое поле в диэлектриках.